Kristián Pospíšil je rodákem ze slovenského Zvolenu. S hokejem začínal v tamním HKM, kde setrval do sezony 2011/12. Už jako šestnáctiletý se ale přesunul do věhlasné mládežnické akademie Red Bullu Salcburk. V té si v rámci úspěšné sezony 2014/15 v kontinentální MHL připsal 49 bodů, přesně jeden na zápas.
V následující sezoně pak započal svou zámořskou misi. Hned první rok se stal dokonce nejproduktivnějším hráčem týmu Blainville-Boisbriand Armada v kanadské juniorské soutěži QMJHL. Pro další ročník se však přesunul do nejvyšší americké juniorky, kde v týmu Sioux City Musketeers opět platil za jednoho z nejproduktivnějších útočníků. Následující dvě sezony už strávil v ECHL a nakoukl dokonce i na farmu Toronta. V sezoně 2019/20 se ze zámoří definitivně vrátil do Evropy, konkrétně do finského Lukko Rauma, kde si hned v prvním roce působení připsal skvělých 34 kanadských bodů. Poprvé také už jako zkušený juniorský reprezentant okusil i seniorský národní tým. V Raumě pokračoval i v dalších dvou sezonách, konec té druhé ale dohrával na hostování ve švýcarském Davosu. Letos už nastupoval v jiném finském týmu – SaiPa Lappeenranta, který však již přišel o reálnou naději na postup do play-off. Během svého evropského působení reprezentoval Pospíšil Slovensko na dvou mistrovstvích světa, ale jeho největším dosavadním úspěchem je bezesporu bronzová medaile z olympijských her v Pekingu, na které se podílel spolu se svým spoluhráčem z Komety Markem Ďalogou.